《函數的奇偶性》函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.結合具體函數,了解函數的奇偶性的含義.
2.能根據奇偶性的定義判斷和證明函數的奇偶性.
3.能利用奇偶性來研究函數的定義域、值域、解析式、單調性及函數的圖像等.
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函數的奇偶性PPT，第二部分內容：自主預習
知識點一、奇、偶函數的定義
1.思考
(1)①已知函數f(x)=1/x^2 ,試求函數的定義域,并分別對x取±1,±2,±3,±1/2,±1/3,…算出函數值f(x),你能發現什么規律?
提示:y=1/x^2 的定義域為{x|x≠0},經過對一系列互為相反數的x值代入函數式可得:若x的取值互為相反數,則其函數值相等.即對x∈{x|x≠0}總有f(-x)=f(x)成立,我們把這類函數稱為偶函數.
②你還能得出函數f(x)=x5在x∈R時仍有上述(1)問中的規律嗎?
提示:f(x)=x5滿足的規律是對x∈R,總有f(-x)=-f(x)成立,我們把這類函數稱為奇函數.
(2)一個函數具有奇偶性,其定義域有什么特點?
提示:一個函數若具有奇偶性,其定義域一定關于原點對稱,這等價于定義中的“對D內的任意一個x,都有-x∈D”這一說法.
2.填寫下表:
設函數y=f(x)的定義域為D,如果對D內的任意一個x,都有-x∈D,
3.做一做
(1)下列函數是偶函數的為( )
A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]
B.y=x3-x2
C.y=x3
D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]
答案:D
(2)下列函數中,既是奇函數又是減函數的為( )
A.y=x-1 B.y=3x2
C.y=1/2x D.y=-x|x|
答案:D
知識點二、奇、偶函數的圖像特征
1.思考
(1)如果f(x)的圖像關于原點對稱,且函數在x=0處有定義,那么f(0)為何值?
提示:f(x)的圖像關于原點對稱,即f(x)為奇函數,故滿足f(-x)=-f(x).因為f(x)在x=0處有定義,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.
(2)若f(x)為奇函數,且點(x,f(x))在其圖像上,則哪一個點一定在其圖像上?若f(x)為偶函數呢?
提示:若f(x)為奇函數,則點(-x,-f(x))一定在其圖像上;若f(x)為偶函數,則點(-x,f(x))一定在其圖像上.
2.填空
(1)偶函數的圖像關于y軸對稱;反之,結論也成立,即圖像關于y軸對稱的函數一定是偶函數.
(2)奇函數的圖像關于原點對稱;反之,結論也成立,即圖像關于原點對稱的函數一定是奇函數.
名師點撥 奇函數在其對稱區間上的單調性相同,偶函數在其對稱區間上的單調性相反;若奇函數f(x)在區間[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區間[-b,-a]上的最大值為-m,最小值為-M;偶函數f(x)在區間[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.
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函數的奇偶性PPT，第三部分內容：探究學習
判斷函數的奇偶性
例1判斷下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=√(x"-" 1)+√(1"-" x);
(2)f(x)=√(x^2 "-" 1)+√(1"-" x^2 );
(3)f(x)=x2-2|x|+1,x∈[-1,1];
(4)f(x)=(x-2)√((x+2)/(x"-" 2));
(5)f(x)=(x-2)√((2+x)/(2"-" x))(|x|<2).
分析:先求定義域,驗證定義域是否關于原點對稱,再看f(-x)與f(x)的關系,進而做出判斷.
解:(1)∵由{■(x"-" 1≥0"," @1"-" x≥0)┤知x=1.
∴函數f(x)的定義域為{x|x=1},不關于原點對稱,
故f(x)既不是奇函數也不是偶函數.
(2)∵由{■(x^2 "-" 1≥0"," @1"-" x^2≥0"," )┤得x2=1,即x=±1.
∴函數f(x)的定義域是{x|x=±1},關于原點對稱.
又∵f(x)=0,∴f(x)既是奇函數也是偶函數.
(3)函數的定義域為[-1,1],關于原點對稱.
∵f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)是偶函數.
反思感悟如何判斷函數的奇偶性
1.判斷函數的奇偶性一般不用其定義,而是利用定義的等價形式,即考察f(-x)與f(x)的關系,具體步驟如下:
(1)求f(x)的定義域;
(2)若定義域不關于原點對稱,則函數f(x)不具有奇偶性,若定義域關于原點對稱,可再利用定義驗證f(-x)與f(x)的關系.
2.對于一些較復雜的函數,也可以用如下性質判斷函數的奇偶性:
(1)偶函數的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數;
(2)奇函數的和、差仍為奇函數;
(3)奇(偶)數個奇函數的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數;
(4)一個奇函數與一個偶函數的積為奇函數.
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函數的奇偶性PPT，第四部分內容：思維辨析
利用函數的單調性與奇偶性解不等式
典例 設定義在[-2,2]上的奇函數f(x)在區間[0,2]上是減函數,若f(1-m)<f(m),求實數m的取值范圍.
解:因為f(x)是奇函數且f(x)在[0,2]上是減函數,所以f(x)在[-2,2]上是減函數.
所以不等式f(1-m)<f(m)等價于{■(1"-" m>m"," @"-" 2≤m≤2"," @"-" 2≤1"-" m≤2"," )┤解得-1≤m<1/2.
方法點睛 利用函數奇偶性和單調性解不等式
解決此類問題時一定要充分利用已知的條件,把已知不等式轉化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根據奇函數在對稱區間上的單調性一致,偶函數在對稱區間上的單調性相反,列出不等式(組),同時不能漏掉函數自身定義域對參數的影響.
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函數的奇偶性PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.(多選)下列函數是偶函數的為( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x
C.f(x)= D.f(x)=x2+x4
答案:AD
2.有下列說法:
①偶函數的圖像一定與y軸相交;
②若y=f(x)是奇函數,則由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;
③既是奇函數也是偶函數的函數一定是f(x)=0,x∈R;
④若一個圖形關于y軸成軸對稱,則該圖形一定是偶函數的圖像.
其中不正確的是( )
A.①② B.①④ C.①②④ D.①②③④
解析:①中可舉反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0處可能無定義;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A為關于原點對稱的數集);④中該圖形可能不是函數的圖像.故①②③④均錯誤.
答案:D
3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,則f(2)=_________.
解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,
∴25+5×23+2b=-18.
∴f(2)=25+23×5+2b-8=-18-8=-26.
答案:-26
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