《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.了解均值不等式的證明過程,理解均值不等式成立的條件,等號成立的條件及幾何意義.
2.會運用均值不等式解決最值、范圍、不等式證明等相關問題.
3.掌握運用均值不等式(a+b)/2≥√ab(a,b>0)求最值的常用方法及需注意的問題.
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均值不等式及其應用PPT，第二部分內容：自主預習
知識點一、重要不等式
1.填空:
對于任意實數a,b,有a2+b2≥2ab,當且僅當a=b時,等號成立.
2.怎樣比較a2+b2,("(" a+b")" ^2)/2,2ab三者的大小關系?
提示:a2+b2≥("(" a+b")" ^2)/2≥2ab,當且僅當a=b時等號成立.利用作差法即可證明.
3.做一做
已知a,b∈R,且a2+b2=4,則ab( )
A.有最大值2,有最小值-2
B.有最大值2,但無最小值
C.有最小值2,但無最大值
D.有最大值2,有最小值0
解析:這里沒有限制a,b的正負,則由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab的最大值為2,最小值為-2.
答案:A
知識點二、均值不等式
1.填空
(1)給定兩個正實數a,b,數(a+b)/2稱為a,b的算術平均值,數√ab稱為a,b的幾何平均值.
(2)均值不等式:如果a,b都是正數,那么(a+b)/2≥√ab,當且僅當a=b時,等號成立.均值不等式也稱為基本不等式,其實質是:兩個正實數的算術平均值不小于它們的幾何平均值.
(3)公式變形:①a+b≥2√ab,ab≤((a+b)/2)^2(a,b>0),當且僅當a=b時,等號成立.
②a+1/a≥2(a>0),當且僅當a=1時,等號成立.
③a/b+b/a≥2(a,b同號),當且僅當a=b時,等號成立.
2.均值不等式與不等式a2+b2≥2ab的關系如何?請對此進行討論.
提示:(1)在a2+b2≥2ab中,a,b∈R;在a+b≥2√ab中,a,b>0.
(2)兩者都帶有等號,等號成立的條件從形式上看是一樣的,但實質不同(范圍不同).
(3)證明的方法都是作差比較法.
(4)都可以用來求最值.
知識點三、重要結論
1.思考
填空:
已知x,y都為正數,則
(1)若x+y=S(和為定值),則當x=y時,積xy取得最大值____.
(2)若xy=P(積為定值),則當x=y時,和x+y取得最小值_____.
2.應用上述兩個結論時,要注意哪些事項?
提示:應用上述性質時注意三點:(1)各項或各因式均為正;(2)和或積為定值;(3)各項或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”.
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均值不等式及其應用PPT，第三部分內容：探究學習
利用均值不等式求范圍或最值
例1 (1)已知x,y∈(0,+∞),且2x+y=1,求1/x+1/y的最小值;
(2)已知0<x<1/2,求函數y=x(1-2x)的最大值.
分析:(1)利用“1”的代換,即將1/x+1/y等價轉化為(1/x+1/y)×1或(2x+y)/x+(2x+y)/y即可.
(2)將“x(1-2x)”變形為“1/2×2x(1-2x)”,利用2x+(1-2x)=1為定值即可.
解:(1)1/x+1/y=(1/x+1/y)(2x+y)=2+2x/y+y/x+1=3+2x/y+y/x
≥3+2√(2x/y "•" y/x)=3+2√2,
當且僅當2x/y=y/x,即{■(y/x=√2 "," @2x+y=1)┤⇒{■(x=1/(2+√2) "," @y=√2/(2+√2))┤時等號成立.
∴1/x+1/y的最小值為3+2√2.
(2)∵0<x<1/2,∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=1/2•2x(1-2x)≤1/2 [(2x+"(" 1"-" 2x")" )/2]^2=1/8,
當且僅當2x=1-2x,即x=1/4時,等號成立.
反思感悟1.利用均值不等式求范圍或最值時要注意:
(1)x,y一定要都是正數.
(2)求積xy最大值時,應看和x+y是否為定值;求和x+y最小值時,應看積xy是否為定值.
(3)等號是否能夠成立.
2.有時需結合題目條件進行添項、湊項以及“1”的代換等,目的是為了使和或積為常數.
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均值不等式及其應用PPT，第四部分內容：思維辨析
一題多變——利用基本不等式求最值
典例(1)已知x<5/4,求y=4x-2+1/(4x"-" 5)的最大值;
(2)已知0<x<1/2,求y=1/2x(1-2x)的最大值;
(3)已知x>0,求f(x)=2x/(x^2+1)的最大值;
(4)已知x>0,y>0,且1/x+9/y=1,求x+y的最小值.
分析:變形所求代數式的結構形式,使用符合基本不等式的結構特征.
(1)4x-2+1/(4x"-" 5)=4x-5+1/(4x"-" 5)+3;
(2)1/2x(1-2x)=1/4•2x•(1-2x);
(3)2x/(x^2+1)=2/(x+1/x);
(4)x+y=(x+y)•1=(x+y) 1/x+9/y .
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均值不等式及其應用PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.函數f(x)=2x+8/x(x>0)有( )
A.最大值8 B.最小值8
C.最大值4 D.最小值4
答案:B
2.已知點P(x,y)在直線x+3y-2=0上,則代數式3x+27y的最小值是_________,此時x=_________,y=_________.
解析:根據條件可知x+3y=2,而3x+27y=3x+33y≥2√(3^(x+3y) )=2√(3^2 )=6,當且僅當3x=33y時取等號.解{■(x+3y"-" 2=0"," @x=3y"," )┤得x=1,y=1/3.
答案:6 1 1/3
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