《均值不等式及其應用》等式與不等式PPT(第1課時均值不等式)
第一部分內容：學習目標
理解算術平均值與幾何平均值的概念，掌握均值不等式及其推理過程
能夠運用均值不等式求函數或代數式的最值
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均值不等式及其應用PPT，第二部分內容：自主學習
問題導學
預習教材P72－P75的內容，思考以下問題：
1．正數a，b的算術平均值和幾何平均值是什么？
2．均值不等式的內容是什么？
3．均值不等式中的等號成立的條件是什么？
4．兩個正數的積為常數時，它們的和有什么特點？
5．兩個正數的和為常數時，它們的積有什么特點？
新知初探
1．算術平均值與幾何平均值
給定兩個正數a，b，數____________稱為a，b的算術平均值；數ab 稱為a，b的幾何平均值．
2．均值不等式
如果a，b都是正數，那么_______________，當且僅當a＝b時，等號成立．
■名師點撥
(1)兩個不等式a2＋b2≥2ab與a＋b2≥ab成立的條件是不同的．前者要求a，b是實數即可，而后者要求a，b都是正實數(實際上后者只要a≥0，b≥0即可)．
(2)兩個不等式a2＋b2≥2ab和a＋b2≥ab都是帶有等號的不等式，都是“當且僅當a＝b時，等號成立”．
3．均值不等式與最值
已知x＞0，y＞0，則
(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當x＝y時，積xy取得最_____值s24.
(2)若xy＝p(積為定值)，則當x＝y時，和x＋y取得最______值2p.
即：兩個正數的積為常數時，它們的和有______值；
兩個正數的和為常數時，它們的積有______值．
■名師點撥
利用均值不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的原則，即：
①一正：符合均值不等式a＋b2≥ab成立的前提條件，a＞0，b＞0；
②二定：化不等式的一邊為定值；
③三相等：必須存在取“＝”號的條件，即“＝”號成立．
以上三點缺一不可．
自我檢測
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)對任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．( )
(2)若a>0，b>0且a≠b，則a＋b>2ab.( )
(3)若a>0，b>0，則ab≤a＋b22.( )
(4)a，b同號時，ba＋ab≥2.( )
(5)函數y＝x＋1x的最小值為2.( )
如果a>0，那么a＋1a＋2的最小值是( )
A．2 B．22
C．3 D．4
不等式(x－2y)＋1x－2y≥2成立的前提條件為( )
A．x≥2y B．x>2y
C．x≤2y D．x<2y
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均值不等式及其應用PPT，第三部分內容：講練互動
對均值不等式的理解
下列結論正確的是( )
A．若x∈R，且x≠0，則4x＋x≥4
B．當x>0時，x＋1x≥2
C．當x≥2時，x＋1x的最小值為2
D．當0<x≤2時，x－1x無最大值
利用均值不等式直接求最值
(1)已知t＞0，求y＝t2－4t＋1t的最小值；
(2)若實數x，y滿足2x＋y＝1，求xy的最大值．
規律方法
(1)若a＋b＝p(和為定值)，當a＝b時，積ab有最大值p24，可以用均值不等式ab≤a＋b2求得．
(2)若ab＝s(積為定值)，則當a＝b時，和a＋b有最小值2s，可以用均值不等式a＋b≥2ab求得．
不論哪種情況都要注意取得等號的條件是否成立．
利用均值不等式借助拼湊法求最值
(1)已知x>2，則y＝x＋4x－2的最小值為________．
(2)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，則1x＋1y的最小值為________．
求解策略
通過拼湊法利用均值不等式求最值的策略
拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面：
(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形．
(2)代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標．
(3)拆項、添項應注意檢驗利用均值不等式的前提．
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均值不等式及其應用PPT，第四部分內容：達標反饋
1．下列不等式中，正確的是( )
A．a＋4a≥4 B．a2＋b2≥4ab
C．ab≥a＋b2 D．x2＋3x2≥23
2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，則ab的最大值為( )
A．25 B．252
C．254 D．258
3．若a＞1，則a＋1a－1的最小值是( )
A．2 B．a
C．2aa－1 D．3
4．已知x，y為正實數，且x＋y＝4，求1x＋3y的最小值．
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