《指數函數與對數函數的關系》指數函數、對數函數與冪函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.了解反函數的概念,知道指數函數和對數函數互為反函數,弄清它們的圖像間的對稱關系.
2.會求簡單函數的反函數.
3.能綜合利用指數函數、對數函數的性質與圖像解決一些問題.
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指數函數與對數函數的關系PPT，第二部分內容：課前篇自主預習
一、反函數的概念
1.(1)已知一次函數y=2x-1,你能從方程的角度把x用y表示出來嗎?
提示:由y=2x-1得2x=y+1,即x=1/2y+1/2.
(2)y=1/2x+1/2與x=1/2y+1/2兩個等式有何區別和聯系？
提示:如果把第一個等式中的x看成自變量,第二個等式中的y看成自變量,那么它們表示同一個函數,只是字母符號不一致.但如果都看成y關于x的函數,那么這兩個等式中的x,y是互換的,且x=1/2y+1/2是由y=2x-1轉化而來,因此y=2x-1與y=1/2x+1/2不是同一函數.
2.填空.
(1)反函數的定義
一般地,如果在函數y=f(x)中,給定值域中任意一個y的值,只有
唯一的x與之對應,那么x是y的函數,這個函數稱為y=f(x)的反函數.
(2)反函數的記法
函數y=f(x)的反函數通常用y=f-1(x)表示.
(3)互為反函數的性質
①y=f(x)的定義域與y=f-1(x)的值域相同.
②y=f(x)的值域與y=f-1(x)的定義域相同.
③y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關于直線y=x對稱.
二、指數函數與對數函數的關系
1.函數y=ax(a>0,且a≠1)與函數y=logax(a>0,且a≠1)的解析式有何內在聯系?
提示:根據對數式與指數式的互化可知y=ax可化為對數式“x=logay”,再將等式“x=logay”中的x,y互換,也就形成了對數函數y=logax,從這一內在聯系可以看出y=ax與y=logax的定義域和值域是互換的.
2.函數y=ax(a>0,且a≠1)與函數y=logax(a>0,且a≠1)的單調性有一致性嗎?
提示:當0<a<1時,上述兩個函數均是其定義域上的減函數;當a>1時,上述兩個函數均是其定義域上的增函數.因此單調性具有一致性,但變化速度有差異.
3.填空.
(1)關系
指數函數y=ax(a>0,a≠1)與對數函數y=logax(a>0,a≠1)互為反函數.
(2)圖像特征
指數函數y=ax(a>0,a≠1)與對數函數y=logax(a>0,a≠1)的圖像關于直線y=x對稱.
4.做一做:若函數y=log3x+1的反函數的定義域為(3,+∞),則此函數的定義域為 .
答案:(9,+∞)
解析:函數y=log3x+1的反函數的定義域為(3,+∞),也即這個函數的值域為(3,+∞),
所以log3x+1>3,即log3x>2,所以x>9.
所以此函數的定義域為(9,+∞).
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指數函數與對數函數的關系PPT，第三部分內容：課堂篇探究學習
求反函數
例1求下列函數的反函數:
(1)y=log2x; (2)y=(1/3)^x; (3)y=5x+1.
分析:按照求反函數的基本步驟求解即可.
解:(1)由y=log2x,得x=2y,
反思感悟求函數的反函數的主要步驟:
(1)從y=f(x)中解出x=φ(y);
(2)x,y互換;
(3)標明反函數的定義域(即原函數的值域),簡記為“一解、二換、三寫”.
變式訓練1求函數y=2x+1(x<0)的反函數.
解:由y=2x+1,得2x=y-1,
∴x=log2(y-1),∴y=log2(x-1).
又∵x<0,∴0<2x<1,
∴1<2x+1<2.
∴所求函數的反函數為y=log2(x-1)(1<x<2).
指數函數與對數函數圖像的關系
例2 (1)已知a>0,且a≠1,則函數y=ax與y=loga(-x)的圖像只能是( )
(2)將y=2x的圖像( ),再作關于直線y=x對稱的圖像,可得到函數y=log2(x+1)的圖像.
A.先向上平行移動1個單位長度
B.先向右平行移動1個單位長度
C.先向左平行移動1個單位長度
D.先向下平行移動1個單位長度
解析:(1)方法一:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,從而排除A,C.
其次,從單調性著眼.y=ax與y=loga(-x)的單調性正好相反,又可排除D.故選B.
方法二:若0<a<1,則曲線y=ax下降且過點(0,1),而曲線y=loga(-x)上升且過點(-1,0),所有選項均不符合這些條件.
若a>1,則曲線y=ax上升且過點(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過點(-1,0),只有B滿足條件.
方法三:如果注意到y=loga(-x)的圖像關于y軸的對稱圖像為y=logax,又y=logax與y=ax互為反函數(圖像關于直線y=x對稱),則可直接選B.
(2)本題是關于圖像的平移變換和對稱變換,可求出解析式或利用幾何圖形直觀推斷.
反思感悟互為反函數的圖像特點:
(1)互為反函數的圖像關于直線y=x對稱;圖像關于直線y=x對稱的兩個函數互為反函數.
(2)互為反函數的兩個函數在相應區間上的單調性一致.
(3)若一奇函數有反函數,則它的反函數也是奇函數.
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指數函數與對數函數的關系PPT，第四部分內容：思維辨析
因對反函數定義理解:不清而致誤
典例 已知函數y=f(x+1)與函數y=g(x)的圖像關于直線y=x對稱,且g(x)的圖像過定點(1,2 018),則y=f-1(x+1)的圖像過定點 .
錯解:∵g(x)的圖像過定點(1,2 018),
∴y=f(x+1)的圖像過定點(2 018,1).
∴y=f-1(x+1)的圖像過定點(1,2 018).
以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?
提示:錯解過程是誤認為f(x+1)與f-1(x+1)互為反函數,實際上是f(x)與f-1(x)互為反函數,對此不能對自變量x隨意變化拓展.
正解:∵g(x)的圖像過定點(1,2 018),
∴f(x+1)的圖像過定點(2 018,1).
又∵f(x)的圖像可以看作由f(x+1)的圖像向右平移1個單位長度得到的,∴f(x)過定點(2 019,1).
又∵f(x)與f-1(x)互為反函數,∴f-1(x)的圖像過定點(1,2 019).再結合f-1(x)與f-1(x+1)的關系可知,f-1(x+1)的圖像過定點(0,2 019).
防范措施1.防止以上錯誤的產生,首先要明確反函數的求解原則和步驟,并且要清楚f(x)與f-1(x)是互為反函數的本質是等式中的x,y進行了互換.
2.對于復合函數f(x+1)的函數的求解,可將“x+1”看成整體來對待,即由y=f(x+1)可初步得x+1=f-1(y),即y=f-1(x)-1才是y=f(x+1)的反函數.
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指數函數與對數函數的關系PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.函數y=log_(1/2)x(x>0)的反函數是( )
A.y=x^(1/2),x>0 B.y=(1/2)^x,x∈R
C.y=x2,x∈R D.y=2x,x∈R
答案:B
2.函數y=x+2(x∈R)的反函數為( )
A.x=2-y B.x=y-2
C.y=2-x(x∈R) D.y=x-2(x∈R)
答案:D
解析:由y=x+2(x∈R),得x=y-2(x∈R).互換x,y,得y=x-2(x∈R).
3.已知函數y=f(x)的反函數為y=f-1(x),如果函數y=f(x)的圖像過點(1,0),那么函數y=f-1(x)+1的圖像過點( )
A.(0,0) B.(0,2) C.(1,1) D.(2,0)
答案:B
解析:∵y=f(x)的圖像過點(1,0),
∴其反函數y=f-1(x)的圖像必過點(0,1),
即f-1(0)=1,∴y=f-1(x)+1的圖像過點(0,2).
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