《向量基本定理與向量的坐標》平面向量初步PPT課件(向量基本定理 直線上向量的坐標及其運算)
第一部分內容：學習目標
掌握共線向量基本定理
理解平面向量基本定理
兩定理的熟練應用
理解直線上向量的坐標的含義及其運算
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第二部分內容：自主學習
問題導學
預習教材P152－P159的內容，思考以下問題：
1．共線向量基本定理是怎樣表述的？
2．用向量證明三點共線有哪些方法？
3．平面向量基本定理的內容是什么？
4．如何定義平面向量基底？
5．實數與直線上的向量建立了什么關系？
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第三部分內容：新知初探
1．共線向量基本定理
如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數λ，使得________．
由共線向量基本定理及前面介紹過的結論可知，如果A，B，C是三個不同的點，則它們共線的充要條件是：______________________________．
2．平面向量基本定理
如果平面內兩個向量a與b__________，則對該平面內任意一個向量c，存在唯一的實數對(x，y)，使得__________．
平面內不共線的兩個向量a與b組成的集合{a，b}常稱為該平面上向量的一組_____，此時如果c＝xa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的__________．
名師點撥
(1)a，b是同一平面內的兩個不共線向量．
(2)該平面內任意向量c都可以用a，b線性表示，且這種表示是唯一的．
(3)基底不唯一，只要是同一平面內的兩個不共線向量都可以作為基底．
3．直線上向量的坐標
給定一條直線l以及這條直線上一個單位向量e，由共線向量基本定理可知，對于直線l上的任意一個向量a，一定存在唯一的實數x，使得__________，此時，x稱為向量a的坐標．
當x>0時，a的方向與e的方向_____；
當x＝0時，a是__________；
當x<0時，a的方向與e的方向_____．
也就是說，在直線上給定了單位向量之后，直線上的向量完全被其坐標確定．
4．直線上向量的運算與坐標的關系
假設直線上兩個向量a，b的坐標分別為x1，x2，即
a＝x1e，b＝x2e，則a＝b⇔__________; a＋b＝__________．
如果u，v是兩個實數，那么ua＋vb的坐標為__________，
ua－vb的坐標為__________．
設A(x1)，B(x2)是數軸上兩點，O為坐標原點，則OA→＝x1e，OB→＝x2e，因此，
AB→＝OB→－OA→＝____________________．
AB＝|AB→|＝__________．
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第四部分內容：自我檢測
1.判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底．( )
(2)若e1，e2 是同一平面內兩個不共線向量，則λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2 為實數)可以表示該平面內所有向量．( )
(3)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，則a＝c，b＝d.( )
2. 如果向量a與向量b不平行，則與a，b都不平行的向量是( )
A．3a＋2b B．2a
C．－32a D．－3b
3. 數軸上三點A，B，C的坐標分別為－1，2，5，則( )
A.AB→的坐標為－3 B.BC→的坐標為3
C.AC→的坐標為－6 D.BC→的坐標為－3
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第五部分內容：講練互動
共線向量基本定理
例1 已知m，n是不共線向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判斷a與b是否共線？
【解】若a與b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n)．
因為m，n不共線，所以6λ＝3，－8λ＝4.
因為不存在λ同時滿足此方程組，
所以a與b不共線．
規律方法
利用向量共線求參數的方法
判斷、證明向量共線問題的思路是根據向量共線定理尋求唯一的實數λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共線求λ，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數為零，利用待定系數法建立方程，從而解方程求得λ的值．
用基底表示向量
例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，設對角線AC→＝a，BD→＝b，試用基底a，b表示AB→，BC→.
規律方法
將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
直線的向量參數方程式的應用
例3 已知平面內兩定點A，B，對該平面內任一動點C，總有OC→＝3λOA→＋(1－3λ)OB→(λ∈R，點O為直線AB外的一點)，則點C的軌跡是什么圖形？簡單說明理由．
【解】法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R，結合直線的向量參數方程式可知點C的軌跡是直線AB.
法二：將已知向量等式兩邊同時減去OA→，得
OC→－OA→＝(3λ－1)OA→ ＋(1－3λ) OB→
＝(1－3λ)(OB→－OA→)
＝(1－3λ)AB→，
即AC→＝(1－3λ)AB→，λ∈R，
所以A，B，C三點共線，即點C的軌跡是直線AB.
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向量基本定理與向量的坐標PPT，第六部分內容：達標反饋
1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內所有向量基底的是( )
A.AB→，DC→ B.AD→，BC→
C.BC→，CB→ D.AB→，DA→
2．設D為△ABC所在平面內一點，若BC→＝3CD→，則( )
A.AD→＝－13AB→＋43AC→
B.AD→＝13AB→－43AC→
C.AD→＝43AB→＋13AC→
D.AD→＝43AB→－13AC→
3．已知向量a，b是一組基底，實數x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y的值為________．
4．已知數軸上四點A，B，C，D的坐標分別是－4，－2，c，d.
(1)若|BD→|＝6，求d的值；
(2)若AC→＝－3AD→，求證：3CD→＝－4AC→.
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