《平面向量及其線性運算》平面向量初步PPT(數乘向量 向量的線性運算)
第一部分內容：課標闡釋
1.了解數乘向量的概念并理解數乘運算的幾何意義.
2.理解并掌握數乘向量的運算律,會進行向量的數乘運算.
3.理解并掌握兩向量共線的性質及判定方法,并能熟練地運用這些知識處理有關向量共線問題.
4.會利用向量的加法、減法與數乘進行線性運算.
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平面向量及其線性運算PPT，第二部分內容：課前篇自主預習
一、數乘向量
1.填空.
定義實數λ與向量a相乘的運算
記法λa
長度|λa|=|λ||a|
方向
λ>0方向與a的方向相同
λ<0方向與a的方向相反
2.數乘的幾何意義是什么?
提示:向量的數乘的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或a的反方向擴大或縮小.當λ>0時,沿著a的方向擴大(λ>1)或縮小(0<λ<1)λ倍;當λ<0時,沿著a的反方向擴大(|λ|>1)或縮小(|λ|<1)|λ|倍.
3.做一做:思考辨析
(1)對于任意的向量a,總有0·a=0.( )
(2)當λ>0時,|λa|=λa.( )
(3)若a≠0,λ≠0,則a與-λa的方向相反.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
解析:(1)0·a=0;(2)|λa|=λ|a|(λ>0).(3)當λ<0時,-λ>0,a與-λa的方向相同.
二、數乘向量與線性運算律
1.填空.
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
2.如何理解向量數乘的運算律?
提示:(1)向量數乘運算律與實數乘法運算律很相似,只是向量數乘分配律由于因子的不同,可分為(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb.
(2)向量數乘運算律的理論依據是兩個向量相等的定義.所以證明此運算律的關鍵,是證明等式兩邊向量的模相等且方向相同.并對各種可能的情況,做全面的討論.
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平面向量及其線性運算PPT，第三部分內容：課堂篇探究學習
向量的線性運算
例1化簡下列各式:
(1)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a;
(3)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b).
分析:根據向量的加法、減法及數乘運算化簡即可.
解:(1)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.
(3)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b=-2(m+n)b.
反思感悟向量數乘運算的方法總結
(1)向量的數乘運算類似于多項式的代數運算,實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”指向量,實數看作是向量的系數.
(2)向量也可以通過列方程來解,把所求向量當作未知數,利用解代數方程的方法求解,同時在運算過程中要多注意觀察,恰當運用運算律,簡化運算.
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平面向量及其線性運算PPT，第四部分內容：思維辨析
向量共線問題——數學方法
典例已知非零向量e1,e2不共線,如果(AB) =e1+2e2,(BC) =-5e1+6e2,(CD) =7e1-2e2,則共線的三個點是___________.
分析:將三點共線問題轉化為向量共線問題,例如(AB) ∥(BD) 可推出A,B,D三點共線.
解析:∵(AB) =e1+2e2,(BD) =(BC) +(CD) =-5e1+6e2+7e1-2e2
=2(e1+2e2)=2(AB) ,
∴(AB) ,(BD) 共線,且有公共點B.
∴A,B,D三點共線.
答案:A,B,D
變式訓練已知m,n是不共線向量,a=3m+4n,b=6m-8n,判斷a與b是否共線.
解:若a與b共線,則存在λ∈R,使a=λb,
即3m+4n=λ(6m-8n).
∵m,n不共線,∴{■(6λ=3"," @"-" 8λ=4"." )┤
∵不存在λ同時滿足此方程組,∴a與b不共線.
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平面向量及其線性運算PPT，第五部分內容：當堂檢測
1.已知點D是△ABC所在平面上一點,滿足(BD) =1/4 (DC) ,則(AD) =( )
A.1/4 (AB) +3/4 (AC) B.3/4 (AB) +1/4 (AC)
C.4/5 (AB) +1/5 (AC) D.1/5 (AB) +4/5 (AC)
2.已知△ABC和點M滿足(MA) +(MB) +(MC) =0.若存在實數m使得(AB) +(AC) =m(AM) 成立,則m的值為__________.
3.如圖,在△ABC中,(AD) =2/3 (AC) ,(BP) =1/3 (PD) ,若(AP) =λ(AB) +μ(AC) ,則λ+μ的值為( )
A.11/12 B.3/4 C.8/9 D.7/9
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