《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT下載(向量的數乘運算)
第一部分內容：內容標準
1.通過實例分析，掌握平面向量數乘運算及運算法則．
2.理解平面向量數乘運算的幾何意義．
3.理解兩個平面向量共線的含義．
4.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義.
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平面向量的運算PPT，第二部分內容：課前 • 自主探究
[教材提煉]
知識點一 向量的數乘運算
預習教材，思考問題
如圖，已知向量a，請作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，并指出所得和向量與向量a的模、方向有什么關系．
――→a
[提示] 如圖，a＋a＋a＝OC→，(－a)＋(－a)＋(－a)＝PF→，可以發現：a＋a＋a與a的方向相同，模是a的模的3倍；(－a)＋(－a)＋(－a)與a的方向相反，模是a的模的3倍．
知識點二 數乘運算的運算律
預習教材，思考問題
已知向量a，請通過作圖判斷以下結論是否成立．
(1)3(2a)＝6a；
(2)(2＋3)a＝2a＋3a；
(3)2(a＋b)＝2a＋2b.
知識梳理 設λ，μ為實數，則
(1)①λ(μa)＝____，
②(λ＋μ)a＝____，
③λ(a＋b)＝____ (分配律)．
特別地，我們有
(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
(2)向量的線性運算：向量的____、____、____運算統稱向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是____．
對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝________.
知識點三 共線向量定理
預習教材，思考問題
(1)a＝λb⇒a與b共線，對嗎？
(2)若a與b共線，一定有a＝λb嗎？
[自主檢測]
1．下列說法正確的是( )
A．2a與a不能相等 B．|2a|＞|a|
C．2a∥a D．|2a|≠1
2．若3x－2(x－a)＝0，則向量x等于( )
A．2a B．－2a
C.25a D．－25a
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平面向量的運算PPT，第三部分內容：課堂 • 互動探究
探究一 向量的線性運算
[例1] 計算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)12[(3a＋2b)－23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
[分析] 根據向量的線性運算法則求解．
方法提升
向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算．例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數.
探究二 向量線性運算的綜合應用
[例2] 在▱ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線交CD于點F，若AC→＝a，BD→＝b，則AF→＝( )
A.14a＋12bB.13a＋23b
C.12a＋14bD.23a＋13b
探究三 利用共線向量證明三點共線
[例3] 已知任意兩個非零向量a，b，試作OA→＝a＋b，OB→＝a＋2b，OC→＝a＋3b，猜想A，B，C三點之間的位置關系，并證明你的猜想．
方法提升
證明三點共線的方法
若向量AB→＝λAC→，則AB→，AC→共線，又AB→與AC→有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．
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平面向量的運算PPT，第四部分內容：課后 • 素養培優
一、“能伸能縮的大丈夫” ——向量的數乘運算
直觀想象、邏輯推理、數學運算
向量的數乘運算可類似于代數多項式的運算，數乘運算的幾何意義就是向量的伸縮變換．
[典例1] 已知向量a，b.
(1)計算：6a－[4a－b－5(2a－3b)]＋(a＋7b)；
(2)把滿足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b的向量x，y用a，b表示出來．
二、典題悟道——三點共線的判定與證明
直觀想象、邏輯推理
[典例2] 如圖所示，已知在▱ABCD中，點M為AB的中點，點N在BD上，且3BN＝BD.
求證：M、N、C三點共線．
[思維突破] 第一步，看結論：證明M、N、C三點共線．
第二步，想方法：運用共線向量定理證明MN→＝λMC→.
第三步，找聯系：以AB→，AD→來表示MN→，MC→，借助共線向量定理尋求λ，使MN→＝λMC→，使問題得證．
[素養提升] 用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路
(1)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行；
(2)若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合.
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