《函數的概念》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.能夠用集合語言和對應關系刻畫函數,建立完整的函數概念.
2.體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用.
3.了解構成函數的要素,能求簡單函數的定義域.
4.會判斷兩個函數是否是同一個函數.
5.能正確使用區間表示數集.
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函數的概念PPT，第二部分內容：自主預習
一、函數的概念
1.(1)初中我們已經學習過函數的概念,它是如何用函數描述變量之間的依賴關系的呢?
提示:在一個變化過程中,有兩個變量x和y,如果給定了一個x值,相應地就確定唯一的一個y值,那么我們稱y是x的函數,其中x是自變量,y是因變量.
(2)教材P60中的問題1,你能得出列車運行0.1 h,0.2 h,0.5 h時列車行進的路程嗎?t的變化范圍是多少?變量t與變量S之間有什么關系?
提示:列車運行0.1 h,0.2 h,0.5 h時列車行進的路程分別為35 km,70 km,175 km.
其中t的變化范圍是0≤t≤0.5.在t的變化范圍內,任給一個t,按照給定的關系式,都有唯一的一個路程S與之對應.
(3)教材P61中的問題2與問題1有什么區別?
提示:兩個問題中自變量的取值范圍不同,從而因變量取值也不相同.
(4)教材P61中的問題3,你能從圖中看出大約哪個時刻空氣質量最差嗎?哪個時刻AQI的值大約為50?
提示:從圖中可以看出,大約10:00時空氣質量最差.大約8:00和15:00這兩個時刻AQI的值大約為50.
(5)教材P61中的問題4,自變量的取值集合是什么?
提示:{2 006,2 007,2 008,2 009,2 010,2 011,2 012,2 013,2 014,2 015}.這是一個數集.
(6)由初中函數定義可知上述問題1~4都是函數,它們有哪些共同特征?
提示:(1)每個問題中的變量均涉及兩個非空數集,用A,B來表示;
(2)兩個數集間都有一種確定的對應關系,在此關系下,對于數集A中任意一個x,數集B中都有唯一確定的數y和它對應.
2.填表
3.一個函數的構成有哪些要素?起決定作用的是哪些?為什么?
提示:定義域A、對應關系f和值域{f(x)|x∈A},共三個要素.起決定作用的是函數對應關系和定義域,因為函數的值域由函數的定義域和對應關系確定,當兩個函數的定義域和對應關系相同時,值域一定相同.
4.在函數的定義中,值域與集合B有怎樣的關系?
提示:值域是集合B的子集.
5.新的函數定義與傳統的函數定義有什么異同?
提示:兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同;兩個定義中的對應關系實際上也一樣,只不過敘述的出發點不同,初中的定義是從運動變化的觀點出發,新定義的對應關系是從集合與對應的觀點出發.
6.判斷正誤:
(1)對應關系與值域都相同的兩個函數是相等函數.( )
(2)函數的值域中每個數在定義域中都只存在一個數與之對應.
( )
答案:(1)× (2)×
二、區間的概念及表示
1.閱讀教材P64相關內容,關于區間的概念,請填寫下表:
設a,b∈R,且a<b,規定如下:
2.實數集R及x≥a,x>a,x≤a,x<a如何用區間表示?
提示:
3.判斷正誤:
(1)所有的數集都能用區間表示.( )
(2)所有的區間都能用數集表示.( )
答案:(1)× (2)√
4.做一做:
用區間表示下列集合:
(1){x|2<x≤4}用區間表示為___________;
(2){x|x>1,且x≠2}用區間表示為___________;
(3){x|x<-3或x≥10}用區間表示為___________.
解析:(1){x|2<x≤4}用區間表示為(2,4].
(2){x|x>1,且x≠2}用區間表示為(1,2)∪(2,+∞).
答案:(1)(2,4] (2)(1,2)∪(2,+∞)
(3)(-∞,-3)∪[10,+∞)
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函數的概念PPT，第三部分內容：探究學習
函數的定義
例1下列對應是實數集R到R上的一個函數的是_________.(只填序號)
①f:把x對應到x;②g:把x對應到7/2x;③h:把x對應到√x;④r:把x對應到x2.
解析:①中對應關系f是R到R上的一個函數;②中對應關系g不是R到R上的一個函數,因為當x=0時,7/2x的值不存在;③中對應關系h不是R到R上的一個函數,因為當x<0時,√x的值不存在;④中對應關系r是R到R上的一個函數.
答案:①④
反思感悟 結合函數的定義,對集合A中任意一個x,判斷在集合B中是否有唯一確定的y值與之對應.
變式訓練 1集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示從A到B的函數的是( )
A.x→y=x/2
B.x→y=x/3
C.x→y=2x/3
D.x→y=√x
解析:x→y=x/2,{x|0≤x≤4},代入表達式得到y∈[0,2],故成立;
x→y=x/3,x∈[0,4]⇒y∈[0"," 4/3],包含于{y|0≤y≤2},故成立;
x→y=2x/3,x∈[0,4]⇒y∈[0"," 8/3],包含{y|0≤y≤2},故不成立;
x→y=√x,x∈[0,4]⇒y∈[0,2],故成立.故選C.
答案:C
區間
例3已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},則A∩B用區間可表示為_________.
解析:∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.
∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.
∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},
即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].
答案:(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]
反思感悟 (1)正確利用區間表示集合,要特別注意區間的端點值能否取到,即“小括號”和“中括號”的區別.(2)用區間表示兩集合的交集、并集、補集運算時,應先求出相應集合,再用區間表示.
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函數的概念PPT，第四部分內容：思想方法
用逆向思維解決函數定義域(或值域)問題
典例 已知函數y=(ax"-" 1)/∛(ax^2+4ax+3)的定義域為R,求實數a的取值范圍.
分析:把求函數定義域問題轉化為方程ax2+4ax+3=0無實根問題.
解:依題意,要使函數有意義,必須ax2+4ax+3≠0.
即要使函數的定義域為R,必須方程ax2+4ax+3=0無實根.
當a=0時,方程ax2+4ax+3=0無實根;
當a≠0時,若方程ax2+4ax+3=0無實根,
則有判別式Δ<0,
歸納總結定義域(或值域)的逆向問題�；癁榉匠袒虿坏仁絾栴}.
一般地,(1)ax2+bx+c>0對x∈R恒成立,有a=b=0,c>0或a>0時,Δ=b2-4ac<0.
(2)ax2+bx+c<0對x∈R恒成立,有a=b=0,c<0或a<0時,Δ=b2-4ac<0.
(3)ax2+bx+c=0無實根,有a=0時,b=0,c≠0或a≠0時,Δ<0.
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函數的概念PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.函數f(x)=√(x+1)/x的定義域是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,-1]
C.(-1,+∞) D.[-1,0)∪(0,+∞)
解析:要使函數有意義,則{■(x+1≥0"," @x≠0"," )┤解得f(x)的定義域為[-1,0)∪(0,+∞).故選D.
答案:D
2.(多選題)下列四組中的f(x)與g(x)不是同一個函數的是( )
A.f(x)=√x,g(x)=x/√x B.f(x)=√x,g(x)=√x
C.f(x)=1/2,g(x)=x/2x D.f(x)=x,g(x)=|x|
解析:對于選項A,C,函數的定義域不同;對于選項D,兩個函數的對應關系不同.
答案:ACD
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