《指數》指數函數與對數函數PPT
課標闡釋
1.理解n次方根及根式的概念,掌握根式的性質.
2.能利用根式的性質對根式進行運算.
3.理解分數指數冪的含義,掌握根式與分數指數冪的互化.
4.掌握實數指數冪的運算性質,并能對代數式進行化簡或求值.
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自主預習
一、n次方根
1.我們在初中學習了平方根、立方根,有沒有四次方根、五次方根、……、n次方根呢?
(1)什么是平方根?什么是立方根?一個數的平方根有幾個?立方根呢?
提示:根據平方根、立方根的定義,正實數的平方根有兩個,它們互為相反數,如4的平方根為±2,負數沒有平方根,一個數的立方根只有一個,如-8的立方根為-2;零的平方根、立方根均為零.
(2)類比a的平方根及立方根的定義,如何定義a的n次方根?
提示:n次方根:如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*.
2.填空:
3.做一做:
用根式表示下列各式.
(1)已知x5=2 019,則x=___________;
(2)已知x4=2 019,則x=___________.
二、根式
1.(1)類比平方根、立方根,猜想:當n為偶數時,一個數的n次方根有多少個?當n為奇數時呢?
提示:a為正數:{■(n"為奇數," a"的" n"次方根有一個,為" √(n&a) "," @n"為偶數," a"的" n"次方根有兩個,為" ±√(n&a) ";" )┤
a為負數:{■(n"為奇數," a"的" n"次方根只有一個,為" √(n&a) "," @n"為偶數," a"的" n"次方根不存在;" )┤
零的n次方根為零,記為√(n&0)=0.
(2)根據n次方根的意義,可知(√(n&a))n=a肯定成立,那么等式√(n&a^n )=a一定成立嗎?
提示:不一定成立.通過探究可得到:n為奇數,√(n&a^n )=a;n為偶數,√(n&a^n )=|a|={■(a"," a≥0"," @"-" a"," a<0"." )┤
2.填空
3.做一做
(1)若(√(n&"-" 2))n=-2(n>1,且n∈N*)有意義,則n為__________數;(填“奇”或“偶”)
(2)若m<n,則√("(" m"-" n")" ^2 )=__________.
答案:(1)奇 (2)n-m
三、分數指數冪
1.(1)整數指數冪的運算性質有哪些?
提示:①am•an=am+n;②(am)n=am•n;
③a^m/a^n =am-n(m>n,a≠0);(4)(a•b)m=am•bm.
(2)零指數冪和負整數指數冪是如何規定的?
提示:規定:a0=1(a≠0);00無意義,a-n=1/a^n (a≠0).
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探究學習
根式的概念
例1(1)27的立方根是__________;16的4次方根是__________.
(2)已知x6=2 019,則x=__________.
(3)若∜(x+3)有意義,則實數x的取值范圍為__________.
解析:(1)27的立方根是∛27=3,16的4次方根為±∜16=±2.
(2)由根式的定義可得x=±√(6&2" " 019).
(3)要使∜(x+3)有意義,則x需滿足x+3≥0,即x≥-3.
答案:(1)3 ±2 (2)±√(6&2" " 019) (3)x≥-3
反思感悟 根式概念問題應關注的兩點
(1)n的奇偶性決定了n次方根的個數;
(2)n為奇數時,a的正負決定著n次方根的符號.
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思想方法
用換元法處理指數冪中的化簡與證明問題
典例 已知pa3=qb3=rc3,且1/a+1/b+1/c=1.
求證:(pa2+qb2+rc2")" ^(1/3)=p^(1/3)+q^(1/3)+r^(1/3).
分析:看見三個式子連等,立刻想到賦中間變量,通過中間變量去構建能用到題干中已知值的式子.
證明令pa3=qb3=rc3=k,
則pa2=k/a,qb2=k/b,rc2=k/c;p=k/a^3 ,q=k/b^3 ,r=k/c^3 .
∴所證等式左邊= k/a+k/b+k/c ^(1/3)
= k 1/a+1/b+1/c ^(1/3)=k^(1/3),
所證等式右邊=(k/a^3 )^(1/3)+(k/b^3 )^(1/3)+(k/c^3 )^(1/3)
=k^(1/3) (1/a+1/b+1/c)=k^(1/3).
∴(pa2+qb2+rc2")" ^(1/3)=p^(1/3)+q^(1/3)+r^(1/3).
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隨堂演練
1.計算∛("(" 2"-" π")" ^3 )+√("(" 3"-" π")" ^2 )的值為( )
A.5 B.-1
C.2π-5 D.5-2π
解析:∛("(" 2"-" π")" ^3 )+√("(" 3"-" π")" ^2 )=2-π+π-3=-1.故選B.
答案:B
2.下列各式正確的是( )
A.(n/m)^7=n7m^(1/7)
B.√(12&"(-" 3")" ^4 )=∛("-" 3)
C.∜(x^3+y^3 )=(x+y")" ^(3/4)
D.√(∛9) =∛3
解析:∵(n/m)^7=n^7/m^7 =n7m-7,∴A錯;
∵√(12&"(-" 3")" ^4 )=√(12&3^4 )=∛3,∴B錯;
∵∜(x^3+y^3 )=(x3+y3")" ^(1/4),∴C錯;
∵√(∛9) =√(9^(1/3) )=9^(1/3×1/2)=3^(1/3)=∛3,∴D正確.
答案:D
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