《用二分法求方程的近似解》指數函數與對數函數PPT
第一部分內容：核心素養培養目標
1.理解二分法的操作步驟與思想及理論依據.
2.能夠借助計算器用二分法求方程的近似解或求函數零點的近似值.
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用二分法求方程的近似解PPT，第二部分內容：自主預習
一、二分法的概念
1.在一檔娛樂節目中,主持人讓選手在規定時間內猜某物品的價格,若猜中了,就把物品獎給選手.某次競猜的物品為價格在800元~1 200元之間的一款手機,選手開始報價:
選手:1 000.
主持人:低了.
選手:1 100.
主持人:高了.
選手:1 050.
主持人:祝賀你,答對了.
(1)主持人說“低了”隱含著手機價格在哪個范圍內?
提示:(1 000,1 200].
(2)選手每次的報價值同競猜前手機價格所在范圍有何關系?
提示:報價值為競猜前手機價格所在范圍的中間值.
2.填空
對于在區間[a,b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x),通過不斷地把它的零點所在區間一分為二,使所得區間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
3.判斷正誤
函數f(x)=|x|可以用二分法求其零點. ( )
答案:×
4.做一做
下列函數圖象與x軸均有公共點,其中不能用二分法求圖中函數零點的是( )
解析:利用二分法求函數零點必須滿足零點兩側的函數值異號.在選項B中,不滿足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求函數零點,由于選項A,C,D中零點兩側的函數值異號,故可采用二分法求函數零點.
答案:B
二、用二分法求f(x)零點近似值的步驟
1.在上述猜物品價格的實例中,競猜的過程是否有規律可循?
提示:競猜過程歸結為:設原價為x,則(1)給定價格區間[a,b];(2)求區間(a,b)的中點c;(3)若c>x,則在區間(a,c)內競猜;若c<x,則在區間(c,b)內競猜;(4)依次類推,直到猜出原價x.
2.填空
給定精確度ε,用二分法求f(x)零點x0的近似值的一般步驟如下:
(1)確定零點x0的初始區間[a,b],驗證f(a)f(b)<0;
(2)求區間(a,b)的中點c;
(3)計算f(c),并進一步確定零點所在的區間;
若f(c)=0(此時x0=c),則c就是函數的零點;
若f(a)f(c)<0(此時零點x0∈(a,c)),則令b=c;
若f(c)f(b)<0(此時零點x0∈(c,b)),則令a=c.
(4)判斷是否達到精確度ε:若|a-b|<ε,則得到零點近似值a(或b),否則重復(2)~(4).
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用二分法求方程的近似解PPT，第三部分內容：探究學習
二分法的概念
例1下列圖象表示的函數中,能使用二分法求零點的是( )
分析:利用二分法求函數零點的條件是:函數在零點的左右兩側的函數值符號相反,即穿過x軸,分析選項可得答案.
解析:能用二分法求函數零點的函數,在零點的左右兩側的函數值符號相反,由圖象可得,A、B、D不能滿足此條件.
答案:C
反思感悟 (1)二分法就是通過不斷地將所選區間一分為二,逐步逼近零點的方法,找到零點附近足夠小的區間,根據所要求的精確度,用此區間的某個數值近似地表示真正的零點.
(2)只有滿足函數圖象在零點附近連續且在該零點左右函數值異號才能應用“二分法”求函數零點.
變式訓練1若二次函數f(x)=2x2+3x+m存在零點,且能夠利用二分法求得此零點,則實數m的取值范圍是________.
用二分法求函數的零點
例2求函數f(x)=x2-5的負零點的近似值(精確度0.1).
分析:先確定f(-2)與f(-3)的符號,再按照二分法求函數零點近似值的步驟求解.
解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取區間[-3,-2]作為計算的初始區間.用二分法逐次計算,列表如下:
反思感悟 用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則及求解流程圖
1.用二分法求函數零點的近似值應遵循的原則:
(1)依據圖象估計零點所在的初始區間[m,n](這個區間既要包含所求的根,又要使其長度盡可能的小,區間的端點盡量為整數).
(2)取區間端點的平均數c,計算f(c),確定有解區間是(m,c)還是(c,n),逐步縮小區間的“長度”,直到區間的長度符合精確度要求(這個過程中應及時檢驗所得區間端點差的絕對值是否達到給定的精確度),才終止計算,得到函數零點的近似值(為了比較清晰地表達計算過程與函數零點所在的區間往往采用列表法).
2.利用二分法求函數近似零點的流程圖:
延伸探究如本例中的精確度改為0.2呢?
解:由【例2】的表格可知,區間(-2.25,-2)的長度為|-2-(-2.25)|=0.25>0.2;
而區間(-2.25,-2.125)的長度|-2.125-(-2.25)|=0.125<0.2,所以這個區間的兩個端點值就可以作為其近似值,所以其近似值可取-2.125.
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用二分法求方程的近似解PPT，第四部分內容：思想方法
轉化與化歸思想在二分法中的應用
典例 求∛2的近似值(精確度0.01).
【審題視角】 設x=∛2→∛2就是方程x3-2=0的根→∛2就是函數y=x3-2的零點
解:設x=∛2,則x3-2=0.令f(x)=x3-2,
則函數f(x)零點的近似值就是∛2的近似值.
以下用二分法求其零點的近似值.
由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取區間[1,2]為計算的初始區間.用二分法逐步計算,列表如下:
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用二分法求方程的近似解PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.已知函數f(x)的圖象如圖,其中零點的個數及可以用二分法求其零點的個數分別為( )
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
解析:由題圖知函數f(x)與x軸有4個公共點,因此零點個數為4,從左往右數第4個公共點橫坐標的左右兩側的函數值同號,因此不能用二分法求該零點,而其余3個均可使用二分法來求.故選D.
答案:D
2.用二分法求函數f(x)=-x3-3x+5的近似零點時的初始區間是( )
A.(1,3) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-3,-2)
解析:本題考查對用二分法求函數零點近似值的理解及初始區間的選擇.∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31,∴f(1)f(2)<0.
又函數f(x)=-x3-3x+5的定義域為R,
故f(x)的一個零點的近似值所在的初始區間為(1,2).
答案:B
3.用二分法求方程f(x)=0在區間(0,1)內的近似解時,經計算,f(0.425)<0,f(0.532)>0,f(0.605)<0,即得到方程的一個近似解為_______________.(精確度0.1)
解析:∵0.605-0.532=0.073<0.1,∴(0.532,0.605)內的值都可以作為方程精確度為0.1的一個近似解.
答案:0.532(答案不唯一)
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