《習題課 單調性與奇偶性的綜合應用》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解函數奇偶性與單調性的關系.
2.能運用函數的單調性與奇偶性等解決比較大小、求最值、解不等式等綜合問題.
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習題課單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第二部分內容：自主預習
奇、偶函數在對稱區間上的單調性
1.(1)已知函數y=f(x)在R上是奇函數,且在(0,+∞)是增函數.那么y=f(x)在它的對稱區間(-∞,0)上單調性如何?
提示:奇函數的圖象關于坐標原點對稱,所以在兩個對稱的區間上單調性相同.即y=f(x)在它的對稱區間(-∞,0)上單調遞增.
(2)你能用函數單調性的定義證明上面的結論嗎?
提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,則-x1>-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是增函數,
∴f(-x1)>f(-x2).
∵y=f(x)在R上是奇函數,
∴f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2),
∴-f(x1)>-f(x2),∴f(x1)<f(x2).
∴函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數.
(3)已知函數y=f(x)在R上是偶函數,且在(0,+∞)是減函數,y=f(x)在它的對稱區間(-∞,0)上是增函數還是減函數?
提示:偶函數的圖象關于y軸對稱,所以在兩個對稱的區間上單調性相反.即y=f(x)在它的對稱區間(-∞,0)上單調遞增.
(4)你能用函數單調性的定義證明上面的結論嗎?
提示:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,則-x1>-x2>0,
∵y=f(x)在(0,+∞)上是減函數,
∴f(-x1)<f(-x2).
∵y=f(x)在R上是偶函數,
∴f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),
∴f(x1)<f(x2).
∴函數y=f(x)在(0,+∞)上是增函數.
2.填空
(1)若函數f(x)是奇函數,且f(x)在區間[a,b]上是單調函數,則f(x)在其對稱區間[-b,-a]上也是單調的,且單調性相同.
(2)若函數f(x)是偶函數,且f(x)在區間[a,b]上是單調函數,則f(x)在其對稱區間["−" 𝑏",−" 𝑎]上也是單調的,且單調性相反.
3.做一做
(1)若奇函數f(x)在[-6,-2]上是減函數,且最小值是1,則它在[2,6]上是( )
A.增函數且最小值是-1 B.增函數且最大值是-1
C.減函數且最大值是-1 D.減函數且最小值是-1
解析:∵奇函數f(x)在[-6,-2]上是減函數,且最小值是1,∴函數f(x)在[2,6]上是減函數且最大值是-1.
答案:C
(2)若偶函數f(x)在(-∞,0]上是增函數,則f(-5),f( ),f(-2),f(4)的大小關系為___________________________.
解析:因為f(x)是偶函數,且在(-∞,0]上是增函數,所以f(x)在[0,+∞)上是減函數,且f(-5)=f(5),f(-2)=f(2).因為√3<2<4<5,所以f(5)<f(4)<f(2)<f(√3).故f(-5)<f(4)<f(-2)<f(√3).
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習題課單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第三部分內容：探究學習
應用函數的單調性與奇偶性判定函數值的大小
例1 已知偶函數f(x)的定義域為R,當x∈[0,+∞)時,f(x)是增函數,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
解析:∵f(x)在R上是偶函數,∴f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).∵2<3<π,且f(x)在區間[0,+∞)上為增函數,∴f(2)<f(3)< f(π),
∴f(-2)<f(-3)<f(π).故選A.
答案:A
反思感悟應用函數的單調性與奇偶性判斷函數值的大小時,先利用函數的奇偶性將自變量轉化到同一個單調區間上,再根據函數的單調性對函數值的大小作出比較.
延伸探究(1)若將本例中的“增函數”改為“減函數”,其他條件不變,則f(-2),f(π),f(-3)的大小關系如何?
(2)若將本例中的“偶函數”改為“奇函數”,其他條件不變,比較這三個數的大小.
解:(1)因為當x∈[0,+∞)時,f(x)是減函數,所以有f(2)>f(3)>f(π).又因為f(x)是R上的偶函數,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),從而有f(-2)>f(-3)>f(π).
(2)因為函數為定義在R上的奇函數,且在[0,+∞)上為增函數,所以函數在R上是增函數,
因為-3<-2<π,所以f(-3)<f(-2)<f(π).
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習題課單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第四部分內容：思維辨析
判斷抽象函數的奇偶性
典例已知函數f(x),x∈R,若對于任意實數a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求證:函數f(x)為奇函數.
證明:由題意可知,函數的定義域為R,關于原點對稱.
令a=0,則f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.
又令a=-x,b=x,代入,得f(-x+x)=f(-x)+f(x),即0=f(-x)+f(x),∴f(-x)=-f(x),
∴函數f(x)為奇函數.
反思感悟 判斷抽象函數的奇偶性主要是利用賦值法,并結合已知條件尋找f(-x)與f(x)的關系,從而得出結論.
變式訓練已知函數f(x),x∈R,若對于任意實數x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),
求證:函數f(x)為偶函數.
證明:令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x).①
令x2=0,x1=x,得f(x)+f(x)=2f(0)f(x).②
由①②得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x),即f(-x)=f(x),
所以函數f(x)為偶函數.
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習題課單調性與奇偶性的綜合應用PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.若f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,且f(4)>f(1),則下列各式一定成立的是( )
A.f(0)<f(6) B.f(4)>f(3) C.f(2)>f(0) D.f(-1)<f(4)
解析:∵f(x)是定義在[-6,6]上的偶函數,
∴f(-1)=f(1).又f(4)>f(1),f(4)>f(-1).
答案:D
2.若f(x)滿足f(-x)=f(x),且f(x)在(-∞,-1]上是增函數,則( )
A.f("-" 3/2)<f(-1)<f(2)
B.f(-1)<f("-" 3/2)<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f("-" 3/2)
D.f(2)<f("-" 3/2)<f(-1)
解析:∵f(-x)=f(x),∴f(2)=f(-2),
∵-2<-3/2<-1,又f(x)在(-∞,-1]上是增函數,∴f(-2)<f("-" 3/2)<f(-1).故選D.
答案:D
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