《函數的應用(一)》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.理解函數是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具.
2.在實際情境中,會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.
3.會應用一次、二次函數和冪函數模型解決一些簡單的實際問題.
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函數的應用PPT，第二部分內容：自主預習
利用具體函數模型解決實際問題
1.常見的數學模型有哪些?
提示:利用具體函數解決實際問題是我們需要關注的內容,具體函數的運用在生活中有很多體現,在學習完函數這部分內容以后,希望同學們能重點運用一次函數、二次函數、、冪函數和分段函數等常見函數來解決問題.下面是幾種常見的函數模型:
(1)一次函數模型:f(x)=kx+b(k,b為常數,k≠0);
(2)反比例函數模型:f(x)=k/x+b(k,b為常數,k≠0);
(3)二次函數模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0);
注意:二次函數模型是高中階段應用最為廣泛的模型,在高考的應用題考查中最為常見.
(4)冪函數模型:f(x)=axn+b(a,b,n為常數,a≠0,n≠1);
(5)分段函數模型:這個模型實則是以上兩種或多種模型的綜合,因此應用也十分廣泛.
2.數學模型可以用下面的圖表來表示解決過程.
3.做一做
假設某種商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R=a√A ,廣告效應D=R-A,則當A=_______時,取得最大的廣告效應.
解析
D=a√A-A=-(√A)2+a√A=-(√A "-" a/2)^2+a^2/4.
當√A=a/2,即A=a^2/4時,D取得最大值.
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函數的應用PPT，第三部分內容：探究學習
一次函數模型的應用
例1某廠日生產文具盒的總成本y(元)與日產量x(套)之間的關系為y=6x+30 000,而出廠價格為每套12元,要使該廠不虧本,至少日生產文具盒( )
A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套
解析:因利潤z=12x-(6x+30 000),
所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生產文具盒5 000套.
答案:D
反思感悟 一次函數模型的應用
利用一次函數求最值,常轉化為求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答時,注意系數a的正負,也可以結合函數圖象或其單調性來求最值.
變式訓練 1商店出售茶壺和茶杯,茶壺定價為每個20元,茶杯每個5元,該商店推出兩種優惠辦法:
(1)買一個茶壺贈一個茶杯;
(2)按總價的92%付款.
某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個(不少于4個),若購買茶杯x(個),付款y(元),試分別建立兩種優惠辦法中y與x之間的函數解析式,并討論該顧客買同樣多的茶杯時,兩種辦法哪一種更優惠?
解:由優惠辦法(1)可得函數解析式為y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N).
由優惠辦法(2)可得y2=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N).
y1-y2=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N),
令y1-y2=0,得x=34.
所以,當購買34個茶杯時,兩種優惠辦法付款相同;
當4≤x<34時,y1<y2,即優惠辦法(1)更省錢;
當x>34時,y1>y2,優惠辦法(2)更省錢.
二次函數模型的應用
例2某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果,假設每箱售價不得低于50元且不得高于55元.市場調查發現,若每箱以50元的價格銷售,平均每天銷售90箱.價格每提高1元,平均每天少銷售3箱.
(1)求平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)之間的函數關系式;
(2)求該批發商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x(元/箱)之間的函數關系式;
(3)當每箱蘋果的售價為多少元時,可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?
解:(1)根據題意,得y=90-3(x-50),
化簡,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
(2)因為該批發商平均每天的銷售利潤=平均每天的銷售量×每箱銷售利潤.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
(3)因為w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以當x<60時,w隨x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以當x=55時,w有最大值,最大值為1 125.
所以當每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤,且最大利潤為1 125元.
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函數的應用PPT，第四部分內容：思維辨析
求函數最值時忽略了實際情況對函數定義域的限制而致錯
典例 如圖所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在AB,AD,CD,CB上分別截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x.
問:當x為何值時,四邊形EFGH的面積最大?并求出最大面積.
錯解設四邊形EFGH的面積為S,
則S=ab-2[1/2 x^2+1/2 "(" a"-" x")(" b"-" x")" ]
=-2x2+(a+b)x=-2(x"-" (a+b)/4)^2+("(" a+b")" ^2)/8.
根據二次函數的性質可知,
當x=(a+b)/4時,S有最大值("(" a+b")" ^2)/8.
以上解題過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?如何防范?
提示:錯解中沒有考慮所得二次函數的定義域,就直接利用二次函數的性質求解,從而導致出錯.
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函數的應用PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.在固定電壓差(電壓為常數)的前提下,當電流通過圓柱形的電線時,其電流強度I(單位:安)與電線半徑r(單位:毫米)的三次方成正比.若已知電流通過半徑為4毫米的電線時,電流強度為320安,則電流通過半徑為3毫米的電線時,電流強度為( )
A.60安 B.240安 C.75安 D.135安
解析:設比例系數為k,則電流強度I=kr3,由已知可得當r=4時,I=320,故有320=43k,解得k=320/64=5,所以I=5r3,則當r=3時,I=5×33=135(安).
答案:D
2.某汽車銷售公司在A,B兩地銷售同一種品牌車,在A地的銷售利潤(單位:萬元)為y1=4.1x-0.1x2,在B地的銷售利潤(單位:萬元)為y2=2x,其中x為銷售量(單位:輛).若該公司在這兩地共銷售16輛這種品牌車,則能獲得的最大利潤是( )
A.10.5萬元 B.11萬元
C.43萬元 D.43.025萬元
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