《正切函數的性質與圖象》三角函數PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.能夠借助單位圓中的正切線畫出函數y=tan x的圖象.
2.掌握正切函數的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調性.
3.能夠利用正切函數的圖象與性質解決相關問題.
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正切函數的性質與圖象PPT，第二部分內容：自主預習
一、正切函數的圖象
1.根據同角三角函數基本關系中的商數關系,你能否推斷y=tan x是一個周期函數?
提示:因為tan x=sinx/cosx,
所以tan(x+π)=(sin"(" x+π")" )/(cos"(" x+π")" )=("-" sinx)/("-" cosx)=tan x,
所以y=tan x是一個周期函數.
2.填空
(1)正切函數的圖象(如圖):
(2)正切函數的圖象叫做正切曲線.
(3)正切函數的圖象特征:正切曲線是由被相互平行的直線
x=π/2+kπ,k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的.
3.判斷正誤
(1)函數y=|tan x|與y=tan x的周期相等,都是π. ( )
(2)函數y=tan|x|的最小正周期是π/2. ( )
答案:(1)√ (2)×
二、正切函數的性質
1.觀察正切曲線,思考:正切函數的值域是什么?正切函數是整個定義域上的增函數嗎?正切函數會不會在某一區間內是減函數?正切函數的圖象關于某些直線對稱嗎?關于某些點對稱嗎?
提示:正切函數的值域是R;正切函數在整個定義域上不是增函數;正切函數不會在某一區間內是減函數,正切函數的圖象不可能關于某條直線對稱;關于一些點是對稱的.
2.填空
3.做一做
(1)函數y=tan(2x+π/3)的定義域是______;
(2)函數y=tan(x"-" π/4)的單調遞增區間是____________.
解析:(1)由2x+π/3≠kπ+π/2,k∈Z,
解得x≠kπ/2+π/12(k∈Z),
所以函數定義域為{x├|x≠kπ/2+π/12 "," k"∈" Z┤}.
(2)由kπ-π/2<x-π/4<kπ+π/2,k∈Z,
解得kπ-π/4<x<kπ+3π/4,k∈Z,
所以函數的單調遞增區間是
(kπ"-" π/4 "," kπ+3π/4)(k∈Z).
答案:(1){x├|x≠kπ/2+π/12 "," k"∈" Z┤}(2)(kπ"-" π/4 "," kπ+3π/4)(k∈Z)
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正切函數的性質與圖象PPT，第三部分內容：探究學習
正切函數的定義域與值域問題
例1求下列函數的定義域和值域:
(1)f(x)=tan(1/2 x"-" π/3);
(2)f(x)=√(√3 "-" tanx).
分析:根據正切函數的定義域和值域并結合正切函數的圖象求解.
解:(1)依題意得1/2x-π/3≠kπ+π/2,k∈Z,
所以x≠2kπ+5π/3,k∈Z.
所以函數的定義域是{x├|x≠2kπ+5π/3 "," k"∈" Z┤}.
由正切函數的值域可知該函數的值域是(-∞,+∞).
(2)依題意√3-tan x≥0,所以tan x≤√3.
結合y=tan x的圖象可知,
在("-" π/2 "," π/2)上,滿足tan x≤√3的角x應滿足-π/2<x≤π/3,
所以函數y=√(√3 "-" tanx)的定義域為{x├|kπ"-" π/2<x≤kπ+π/3 "," k"∈" Z┤},其值域為[0,+∞).
反思感悟 求正切函數定義域的方法及注意點:
求與正切函數有關的函數的定義域時,除了求函數定義域的一般要求外,還要保證正切函數y=tan x有意義,即x≠ +kπ,k∈Z.而對于構建的三角不等式,常利用正切函數的圖象求解.解形如tan x>a的不等式的步驟:
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正切函數的性質與圖象PPT，第四部分內容：思維辨析
弄錯正切函數圖象的對稱中心致誤
典例 y=tan(2x+θ)圖象的一個對稱中心為(π/3 "," 0),若-π/2<θ<π/2,則θ=__________.
錯解函數y=tan x的對稱中心是(kπ,0),其中k∈Z,則令2x+θ=kπ,k∈Z,當x=π/3時,解得θ=kπ-2π/3,k∈Z,由-π/2<θ<π/2,得θ=π/3.
錯解錯在什么地方?你能發現嗎?怎樣避免這類錯誤呢?
提示:錯解中,將正切函數y=tan x圖象的對稱中心(kπ/2 "," 0)(k∈Z)誤以為(kπ,0)(k∈Z),從而導致θ的值求錯.
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正切函數的性質與圖象PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.f(x)=tan("-" 2x+π/3)的最小正周期為( )
A.π/4 B.π/2 C.π D.2π
解析:T=π/("|-" 2"|" )=π/2.
答案:B
2.函數f(x)=sin xtan x( )
A.是奇函數 B.是偶函數
C.是非奇非偶函數 D.既是奇函數又是偶函數
解析:定義域為{x├|x≠kπ+π/2 "," k"∈" Z┤},關于原點對稱.
由f(-x)=sin (-x)·tan(-x)=(-sin x)·(-tan x)=sin xtan x=f(x),則f(x)是偶函數.故選B.
答案:B
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