《平面向量的運算》平面向量及其應用PPT(第4課時向量的數量積)
第一部分內容：學習目標
理解平面向量夾角的定義，并會求已知兩個非零向量的夾角
理解平面向量數量積的含義并會計算
理解a在b上的投影向量的概念
掌握平面向量數量積的性質及其運算律，并會應用
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平面向量的運算PPT，第二部分內容：自主學習
問題導學
預習教材P17－P22的內容，思考以下問題：
1．什么是向量的夾角？
2．數量積的定義是什么？
3．投影向量的定義是什么？
4．向量數量積有哪些性質？
5．向量數量積的運算有哪些運算律？
新知初探
1．兩向量的夾角
(1)定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作OA→＝a，OB→＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．
(2)特例：①當θ＝0時，向量a與b_____；
②當θ＝π2時，向量a與b_____，記作a⊥b；
③當θ＝π時，向量a與b_____．
■名師點撥
按照向量夾角的定義，只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量CA→與AB→的夾角．作AD→＝CA→，則∠BAD才是向量CA→與AB→的夾角．
2．向量的數量積
已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數量__________叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a•b，即a•b＝__________.
規定零向量與任一向量的數量積為_____．
名師點撥
(1)兩向量的數量積，其結果是數量，而不是向量，它的值等于兩向量的模與兩向量夾角余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值來決定．
(2)兩個向量的數量積記作a•b，千萬不能寫成a×b的形式．
3．投影向量
如圖(1)，設a，b是兩個非零向量，AB→＝a，CD→＝b，我們考慮如下變換：過AB→的起點A和終點B，分別作CD→所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1→，我們稱上述變換為向量a向向量b投影(project)，A1B1→叫做向量a在向量b上的投影向量．
如圖(2)，在平面內任取一點O，作OM→＝a，ON→＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1→就是向量a在向量b上的投影向量．
(2)若與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則OM1→＝|a|cos θ e.
4．向量數量積的性質
設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a•e＝e•a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔__________．
(3)當a與b同向時，a•b＝_____；
當a與b反向時，a•b＝__________．特別地，a•a＝_____或|a|＝a•a.
(4)|a•b|_____|a||b|.
名師點撥
對于性質(2)，可以用來解決有關垂直的問題，即若要證明某兩個非零向量垂直，只需判定它們的數量積為0即可；若兩個非零向量的數量積為0，則它們互相垂直．
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平面向量的運算PPT，第三部分內容：自我檢測
1.判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩個向量的數量積仍然是向量．( )
(2)若a•b＝0，則a＝0或b＝0.( )
(3)a，b共線⇔a•b＝|a||b|.( )
(4)若a•b＝b•c，則一定有a＝c.( )
(5)兩個向量的數量積是一個實數，向量的加法、減法、數乘運算的運算結果是向量．( )
2.若|m|＝4，|n|＝6，m與n的夾角為45°，則m•n＝( )
A．12 B．122
C．－122 D．－12
3.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)•15b＝－36，則a與b的夾角為( )
A．60° B．120°
C．135° D．150°
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平面向量的運算PPT，第四部分內容：講練互動
平面向量的數量積運算
(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)•(a＋3b)．
(2)如圖，在▱ABCD中，|AB→|＝4，|AD→|＝3，
∠DAB＝60°，求：
①AD→•BC→；②AB→•DA→.
【解】(1)(a＋2b)•(a＋3b)
＝a•a＋5a•b＋6b•b
＝|a|2＋5a•b＋6|b|2
＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2
＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192.
(2)①因為AD→∥BC→，且方向相同，
所以AD→與BC→的夾角是0°，
所以AD→•BC→＝|AD→||BC→|•cos 0°＝3×3×1＝9.
規律方法
向量數量積的求法
(1)求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩向量的夾角是求數量積的關鍵．
(2)根據數量積的運算律，向量的加、減與數量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．
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平面向量的運算PPT，第五部分內容：達標反饋
1．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a•b＝2，則a與b的夾角θ為( )
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
2．已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c與d垂直，則k的值為( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a•b＝－12，且e是與b方向相同的單位向量，則a在b上的投影向量為______．
4．已知|a|＝1，|b|＝2.
(1)若a∥b，求a•b；
(2)若a，b的夾角為60°，求|a＋b|；
(3)若a－b與a垂直，求a與b的夾角．
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