《奇偶性》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.結合具體函數理解奇函數、偶函數的定義.
2.了解奇函數、偶函數圖象的特征.
3.會判斷(或證明)函數奇偶性.
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奇偶性PPT，第二部分內容：自主預習
一、偶函數
1. (1)觀察下列函數的圖象,你能通過這些函數的圖象,歸納出這三個函數的共同特征嗎?
提示:這三個函數的定義域關于原點對稱,圖象關于y軸對稱.
(2)對于上述三個函數,f(1)與f(-1),f(2)與f(-2),f(3)與f(-3)有什么關系?這說明關于y軸對稱的點的坐標有什么關系?
提示:f(1)=f(-1),f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).關于y軸對稱的點的橫坐標互為相反數,縱坐標相等.
(3)一般地,若函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱,則f(x)與f(-x)有什么關系?反之成立嗎?
提示:若函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱,則f(x)=f(-x).反之,若f(x)=f(-x),則函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱.
2.填空
(1)定義:一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=f(x),那么函數f(x)叫做偶函數.
(2)偶函數的圖象特征:圖象關于y軸對稱.
3.做一做:
下列函數中,是偶函數的是( )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x
C.f(x)=
D.f(x)=x+x3
答案:A
二、奇函數
1. (1)觀察函數f(x)=x和f(x)= 的圖象(如圖),你能發現這兩個函數圖象有什么共同特征嗎?
提示:容易得到定義域關于原點對稱,圖象關于原點對稱.
(2)對于上述兩個函數f(1)與f(-1),f(2)與f(-2),f(3)與f(-3)有什么關系?
提示:f(-1)=-f(1),f(-2)=-f(2),f(-3)=-f(3).
(3)一般地,若函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,則f(x)與f(-x)有什么關系?反之成立嗎?
提示:若函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,則f(-x)=-f(x).反之,若f(-x)=-f(x),則函數y=f(x)的圖象關于原點對稱.
2.與偶函數定義類似,試仿照填空
(1)定義:一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且f(-x)=-f(x),那么函數f(x)叫做奇函數.
(2)奇函數的圖象特征:圖象關于原點對稱.
3.做一做
(1)函數f(x)= -x的圖象關于( )對稱.
A.y軸 B.直線y=-x
C.坐標原點 D.直線y=x
(2)下列圖象表示的函數具有奇偶性的是( )
解析:(1)因為f(x)= -x是奇函數,所以該函數的圖象關于坐標原點對稱.
(2)選項A中的函數圖象關于原點或y軸均不對稱,故排除;選項C,D中的圖象所表示函數的定義域不關于原點對稱,不具有奇偶性,故排除;選項B中的圖象關于y軸對稱,其表示的函數是偶函數.故選B.
答案:(1)C (2)B
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奇偶性PPT，第三部分內容：探究學習
判斷函數的奇偶性
例1判斷下列函數的奇偶性:
(1)f(x)=(2x^2+2x)/(x+1);
(2)f(x)=x3-2x;
(3)f(x)=√(1"-" x^2 )+√(x^2 "-" 1);
(4)f(x)={■(x"(" 1"-" x")," x<0"," @x"(" 1+x")," x>0"." )┤
分析:利用奇函數、偶函數的定義判斷函數的奇偶性時,先求出函數的定義域,看其是否關于原點對稱,如果定義域關于原點對稱,再判斷f(-x)與f(x)的關系.為了判斷f(-x)與f(x)的關系,既可以從f(-x)開始化簡整理,也可以考慮f(-x)+f(x)或f(-x)-f(x)是否等于0.當f(x)不等于0時也可考慮(f"(-" x")" )/(f"(" x")" )與1或-1的關系,還可以考慮使用圖象法.
解:(1)函數的定義域為{x|x≠-1},不關于原點對稱,故f(x)既不是奇函數又不是偶函數.
(2)函數的定義域為R,關于原點對稱,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),∴f(x)是奇函數.
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奇偶性PPT，第四部分內容：思想方法
利用定義法、賦值法解決抽象函數奇偶性問題
典例 若定義在R上的函數f(x)滿足:對任意的x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且當x>0時,f(x)<0,則( )
A.f(x)是奇函數,且在R上是增函數
B.f(x)是奇函數,且在R上是減函數
C.f(x)是奇函數,且在R上不是單調函數
D.無法確定f(x)的單調性和奇偶性
解析:令x1=x2=0,則f(0)=2f(0),
所以f(0)=0.
令x1=x,x2=-x,
則f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),故函數y=f(x)是奇函數.
設x1<x2,則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1),
由于x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0,
故f(x2)<f(x1),
所以函數y=f(x)在R上是減函數.故選B.
答案:B
反思感悟 1.判斷抽象函數的奇偶性,應利用函數奇偶性的定義,找準方向,巧妙賦值,合理、靈活變形,找出f(-x)與f(x)的關系,從而判斷或證明抽象函數的奇偶性.
2.有時需要整體上研究f(-x)+f(x)的和的情況.
比如:上面典例中利用f(-x)+f(x)=0可得出y=f(x)是奇函數.
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奇偶性PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.已知一個奇函數的定義域為{-1,2,a,b},則a+b等于 ( )
A.-1 B.1 C.0 D.2
解析:因為一個奇函數的定義域為{-1,2,a,b},
根據奇函數的定義域關于原點對稱,
所以a與b有一個等于1,一個等于-2,
所以a+b=1+(-2)=-1.
答案:A
2.函數y=(x^2 "(" x+4")" )/(x+4)( )
A.是奇函數 B.是偶函數
C.既是奇函數又是偶函數 D.既不是奇函數又不是偶函數
解析:由題意知函數的定義域是(-∞,-4)∪(-4,+∞),不關于原點對稱,所以該函數既不是奇函數又不是偶函數.
答案:D
3.設f(x)是定義在R上的奇函數,當x≤0時,f(x)=2x2-x,則f(1)=( )
A.-1 B.-3 C.1 D.3
解析:當x≤0時,f(x)=2x2-x,f(-1)=2×(-1)2-(-1)=3.因為f(x)是定義在R上的奇函數,
故f(1)=-f(-1)=-3,故選B.
答案:B
4.若函數f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數,則實數a=________.
解析:f(x)=x2+(a-4)x-4a,
∵f(x)是偶函數,∴a-4=0,即a=4.
答案:4
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