《冪函數》函數的概念與性質PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.通過具體實例,了解冪函數的概念,會求冪函數的解析式.
2.結合冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x^(1/2)的圖象,理解它們的變化規律.
3.能利用冪函數的基本性質解決相關的實際問題.
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冪函數PPT，第二部分內容：自主預習
一、冪函數的定義
1.(1)函 數y=2x與y=x2有什么不同?
提示:在函數y=2x中,常數2為底數,自變量x為指數,故為指數函數;而在函數y=x2中,自變量x為底數,常數2為指數,故為冪函數.
(2) 函數y=x,y=x2,y=x3,y=x-1及y=x^(1/2)解析式有什么共同特征?
提示:底數是自變量,自變量的系數為1;指數為常數;冪xα的系數為1;解析式等號右邊只有1項.
2.填空
一般地,函數y=xα叫做冪函數,其中x是自變量,α是常數.
3.做一做
在函數y=1/x^4 ,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,冪函數的個數為 .
解析:函數y=1/x^4 =x-4為冪函數;函數y=3x2中x2的系數不是1,所以它不是冪函數;函數y=x2+2x不是y=xα(α∈R)的形式,所以它不是冪函數;函數y=1與y=x0=1(x≠0)不是同一函數,所以y=1不是冪函數.
答案:1
二、冪函數的圖象及性質
1.在同一平面直角坐標系中,冪函數y=x,y=x2,y=x3,y=x^(1/2),y=x-1的圖象如下圖所示.
(1)它們的圖象都過同一定點嗎?
提示:是的,都過定點(1,1).
(2)上述5個函數中,在(0,+∞)內是增函數的有哪幾個?是減函數的呢?
提示:在(0,+∞)內是增函數的有:y=x,y=x2,y=x3,y= .在(0,+∞)內是減函數的有:y=x-1.
(3)上述5個函數中,圖象關于原點對稱,是奇函數的有哪幾個?圖象關于y軸對稱,是偶函數的呢?
提示:圖象關于原點對稱,是奇函數的有:y=x,y=x3,y=x-1;圖象關于y軸對稱,是偶函數的有:y=x2.
2.填表
冪函數的性質
3.判斷正誤:
(1)冪函數的圖象可以出現在平面直角坐標系中的任意一個象限.( )
(2)冪函數的圖象必過(0,0)和(1,1).( )
答案:(1)× (2)×
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冪函數PPT，第三部分內容：探究學習
冪函數的概念
例1 函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數,試確定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x>0時是增函數,可先利用冪函數的定義求出m的值,再利用單調性確定m的值.
解:根據冪函數的定義,
得m2-m-5=1,
解得m=3或m=-2.
當m=3時,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數;
當m=-2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數,不符合要求.故m=3.
反思感悟判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即:(1)系數為1;(2)指數為常數;(3)后面不加任何項.反之,若一個函數為冪函數,則該函數必具有這種形式.
變式訓練1如果冪函數y=(m2-3m+3)x^(m^2 "-" m"-" 2)的圖象不過原點,求實數m的取值.
解:由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;
當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.
綜上所述,m=1或m=2.
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冪函數PPT，第四部分內容：思想方法
冪函數的“凸”性
(1)上凸函數、下凸函數的定義
設函數f(x)在[a,b]上有定義,若[a,b]中任意不同兩點x1,x2,f (x_1+x_2)/2 ≥(f"(" x_1 ")" +f"(" x_2 ")" )/2都成立,則稱f(x)在[a,b]上是上凸的函數,即上凸函數.
設函數f(x)在[a,b]上有定義,若[a,b]中任意不同兩點x1,x2,f (x_1+x_2)/2 ≤(f"(" x_1 ")" +f"(" x_2 ")" )/2都成立,則稱f(x)在[a,b]上是下凸的函數,即下凸函數.
這個定義從幾何形式上看就是:在函數f(x)的圖象上取任意兩點,如果函數圖象在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的上方,那么這個函數就是上凸函數;如果函數圖象在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的下方,那么這個函數就是下凸函數.根據函數圖象判斷,一般開口向下的二次函數是上凸函數,開口向上的二次函數是下凸函數.
(2)冪函數的凸性
①冪函數y=xα,x∈(0,+∞),在α>1時,函數是下凸函數;
②冪函數y=xα,x∈(0,+∞),在0<α<1時,函數是上凸函數;
③冪函數y=xα,x∈(0,+∞),在α<0時,函數是下凸函數.
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冪函數PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.冪函數y=kxα過點(4,2),則k-α的值為( )
A.-1 B.1/2 C.1 D.3/2
解析:冪函數y=kxα過點(4,2),
所以{■(k=1"," @4^α=2"," )┤解得{■(k=1"," @α=1/2 "." )┤所以k-α=1/2.
答案:B
2.冪函數y=x2,y=x-1,y=x^(1/3),y=x^("-" 1/2)在第一象限內的圖象依次是下圖中的曲線( )
A.C2,C1,C3,C4
B.C4,C1,C3,C2
C.C3,C2,C1,C4
D.C1,C4,C2,C3
解析:冪函數圖象在第一象限內直線x=1右側的“高低”關系是“指大圖高”,故冪函數y=x2在第一象限內的圖象為C1,y=x-1在第一象限內的圖象為C4, y=x^(1/3)在第一象限內的圖象為C2, y=x^(1/3) 在第一象限內的圖象為C3.
答案:D
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