《三角恒等變換》三角函數PPT課件(第3課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式)

《三角恒等變換》三角函數PPT課件(第3課時兩角和與差的正弦、余弦、正切公式)

第一部分內容：學 習 目 標

1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式.

2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明．(重點)

3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應用．(難點)

核 心 素 養

1.通過利用公式進行化簡、證明等問題，培養邏輯推理素養.

2.借助公式進行求值，提升數學運算素養.

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三角恒等變換PPT，第二部分內容：自主預習探新知

新知初探

兩角和與差的正切公式

名稱       簡記符號     公式                   使用條件

兩角和的正切T(α＋β) tan(α＋β)＝___________α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且tan α•tan β≠1

兩角差的正切T(α－β) tan(α－β)＝___________α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)且tan α•tan β≠－1

初試身手

1．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，則tan αtan β等于(　　)

A．2　　　B．1　　　　

C.12　　　D．4

2．求值：tan11π12＝________.

3．已知tan α＝2，則tanα＋π4＝________.

4.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________.

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三角恒等變換PPT，第三部分內容：合作探究提素養

兩角和與差的正切公式的正用

【例1】(1)已知α，β均為銳角，tan α＝12，tan β＝13，則α＋β＝________.

(2)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，D為垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，則tan∠BAC＝________.

[思路點撥]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.

(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依據tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．

規律方法

1．公式T(α±β)的結構特征和符號規律：

(1)結構特征：公式T(α±β)的右側為分式形式，其中分子為tan α與tan β的和或差，分母為1與tan αtan β的差或和．

(2)符號規律：分子同，分母反．

2．利用公式T(α＋β)求角的步驟：

(1)計算待求角的正切值．

(2)縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息．

(3)根據角的范圍及三角函數值確定角．

兩角和與差的正切公式的逆用

【例2】(1)1＋tan 15°1－tan 15°＝________.

(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________.

[思路點撥]　注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的結構，適當變形后逆用公式求值．

規律方法

公式Tα±β的逆用

一方面要熟記公式的結構，另一方面要注意常值代換.

如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等.

要特別注意tanπ4＋α＝1＋tan α1－tan α，tanπ4－α＝1－tan α1＋tan α.

跟蹤訓練

2．已知α、β均為銳角，且sin 2α＝2sin 2β，則(　　)

A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)

B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)

C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)

D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)

兩角和與差的正切公式的變形運用

[探究問題]

1．兩角和與差的正切公式揭示了tan αtan β與哪些式子的關系？

提示：揭示了tan αtan β與tan α＋tan β，tan αtan β與tan α－tan β之間的關系．

2．若tan α、tan β是關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的兩個根，則如何用a、b、c表示tan(α＋β)?

提示：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－ba1－ca＝－ba－c.

課堂小結

1．公式T(α±β)與S(α±β)、C(α±β)的一個重要區別，就是前者角α、β、α±β都不能取kπ＋π2 (k∈Z)，而后兩者α、β∈R，應用時要特別注意這一點．

2．注意公式的變形應用．

如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，1－tan αtan β＝tan α＋tan βtanα＋β，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，1＋tan αtan β＝tan α－tan βtanα－β等.

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三角恒等變換PPT，第四部分內容：當堂達標固雙基

1．思考辨析

(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．(　　)

(2)對任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．(　　)

(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等價于tan α＋tan β＝tan(α＋β)•(1－tan αtan β)．(　　)

[提示]　(1)√.當α＝0，β＝π3時，tan(α＋β)＝tan0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情況下不成立．

(2)×.兩角和的正切公式的適用范圍是α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)．

(3)√.當α≠kπ＋π2(k∈Z)，β≠kπ＋π2(k∈Z)，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)時，由前一個式子兩邊同乘以1－tan αtan β可得后一個式子．

2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，則tan α＝(　　)

A.17　　　B．－17

C．1　　　D．－1

3．若tanπ3－α＝3，則tan α的值為________．

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