《三角恒等變換》三角函數PPT課件(第4課時二倍角的正弦、余弦、正切公式)
第一部分內容：學 習 目 標
1.能利用兩角和的正、余弦、正切公式推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重點)
2.能利用二倍角公式進行化簡、求值、證明．(難點)
3.熟悉二倍角公式的常見變形，并能靈活應用．(易錯點)
核 心 素 養
1.通過公式的推導，培養邏輯推理素養.
2.借助運算求值，提升數學運算素養.
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三角恒等變換PPT，第二部分內容：自主預習探新知
新知初探
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
記法 公式
S2α sin 2α＝
C2α cos 2α＝
T2α tan 2α＝___________
2.余弦的二倍角公式的變形
3.正弦的二倍角公式的變形
(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝_________.
(2)1±sin 2α＝_________.
初試身手
1．下列各式中，值為32的是( )
A．2sin 15°cos 15°
B．cos215°－sin215°
C．2sin215°
D．sin215°＋cos215°
2．sin 15°cos 15°＝________.
3.12－cos2π8＝________.
4．若tan θ＝2則tan 2θ＝________.
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三角恒等變換PPT，第三部分內容：合作探究提素養
給角求值
【例1】 (1)cosπ7cos3π7cos5π7的值為( )
A.14 B．－14
C.18 D．－18
(2)求下列各式的值：
①cos415°－sin415°；②1－2sin275°；③1－tan275°tan 75°；
④1sin 10°－3cos 10°.
規律方法
對于給角求值問題，一般有兩類：
1直接正用、逆用二倍角公式，結合誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式子進行轉化，一般可以化為特殊角.
2若形式為幾個非特殊角的三角函數式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過程中，需利用互余關系配湊出應用二倍角公式的條件，使得問題出現可以連用二倍角的正弦公式的形式.
給值求值、求角問題
【例2】(1)已知cosα＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos2α＋π4的值；
(2)已知α∈－π2，π2，且sin 2α＝sinα－π4，求α.
[思路點撥]依據以下角的關系設計解題思路求解：
(1)α＋π4與2α＋π2，α－π4與2α－π2具有2倍關系，用二倍角公式聯系；
(2)2α＋π2與2α差π2，用誘導公式聯系．
規律方法
解決條件求值問題的方法
1有方向地將已知式或未知式化簡，使關系明朗化；尋找角之間的關系，看是否適合相關公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關系.
2當遇到fπ4±x這樣的角時可利用互余角的關系和誘導公式，將條件與結論溝通.
cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x.
化簡證明問題
[探究問題]
1．解答化簡證明問題時，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情況，通常要如何處理？
提示：通常要切化弦后再進行變形．
2．證明三角恒等式時，通常的證明方向是什么？
提示：由復雜一側向簡單一側推導．
規律方法
證明三角恒等式的原則與步驟
1觀察恒等式兩端的結構形式，處理原則是從復雜到簡單，高次降低，復角化單角，如果兩端都比較復雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.
2證明恒等式的一般步驟：
①先觀察，找出角、函數名稱、式子結構等方面的差異；
②本著“復角化單角”“異名化同名”“變換式子結構”“變量集中”等原則，設法消除差異，達到證明的目的.
課堂小結
1．對于“二倍角”應該有廣義上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n＝2•α2n＋1(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的運用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最為靈活多樣，應用廣泛．二倍角余弦公式的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos 2α2.
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三角恒等變換PPT，第三部分內容：當堂達標固雙基
1．思考辨析
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)對于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )
[提示] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋kπ(k∈Z)且α≠±π4＋kπ(k∈Z)，故此說法錯誤．
(2)√.當α＝kπ(k∈Z)時，sin 2α＝2sin α.
(3)×.當cos α＝1－32時，cos 2α＝2cos α.
2．已知函數f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則( )
A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3
B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4
C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3
D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4
3．設sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，則tan 2α的值是________．
4．已知π2＜α＜π，cos α＝－45.
(1)求tan α的值；
(2)求sin 2α＋cos 2α的值．
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