《全稱量詞與存在量詞》集合與常用邏輯用語PPT
第一部分內容：課標闡釋
1.通過已知的數學實例,理解全稱量詞與存在量詞的意義.
2.掌握判斷全稱量詞命題與存在量詞命題.
3.能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定;能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.
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全稱量詞與存在量詞PPT，第二部分內容：探究學習
一、全稱量詞與全稱量詞命題
1.給出下列命題:①所有的矩形都是平行四邊形;②對任意一個x∈R,都有x2>0;③每一個菱形的對角線都垂直;④自然數是正整數.
(1)上述命題①②③中的“所有的”“任意一個”“每一個”都表示什么含義?如何定義這類命題?
提示:這些短語一般在指定的范圍內都表示整體或全部,這樣的詞叫做全稱量詞.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.
(2)命題④是全稱量詞命題嗎?它的量詞是什么?
提示:是全稱量詞命題.它的量詞是“所有的”(“每一個”等).即所有的自然數都是正整數.
(3)判斷這四個命題的真假.
提示:命題①③是真命題,命題②④是假命題.因為當x=0時,x2>0不成立,所以②是假命題;因為0是自然數,但不是正整數,所以命題④是假命題.
(4)說一說如何判斷一個全稱量詞命題的真假?
提示:要判斷一個全稱量詞命題是真命題,需要說明每一個元素都滿足題意;而要說明它是假命題,則只需要舉出一個反例.
2.填空
短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“∀”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.
全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立”可用符號簡記為∀x∈M,p(x).
二、存在量詞與存在量詞命題
1.給出下列命題:①有些矩形不是平行四邊形;②存在一個x∈R,使得x2≤0;③至少有一個菱形的對角線不垂直;④有的自然數不是正整數.
(1)上述命題中的“有些”“存在一個”“至少有一個”“有的”都表示什么含義?如何定義這類命題?
提示:這些短語在陳述中表示所述事物的個體或部分,稱為存在量詞.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.
(2)判斷這四個命題的真假.
提示:命題②④是真命題,命題①③是假命題.因為當x=0時,x2≤0成立,所以②是真命題;因為0是自然數,但不是正整數,所以命題④是真命題.
(3)說一說如何判斷一個存在量詞命題的真假?
提示:要判斷一個存在量詞命題是真命題,只要舉一個特例滿足題意即可.
2.填空
短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,用符號“∃”表示.含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.
存在量詞命題“存在M中的元素x,P(x)成立”,可用符號簡記為∃x∈M,p(x).
3.做一做
(1)判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
①全稱量詞的含義是“任意性”,存在量詞的含義是“存在性”.( )
②全稱量詞命題一定含有全稱量詞,存在量詞命題一定含有存在量詞.( )
(2)下列存在量詞命題是假命題的是( )
A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在x∈R,使x2+x+1=0
C.有的素數是偶數 D.有的有理數沒有倒數
(3)命題“有些長方形是正方形”含有的量詞是__________,該量詞是__________量詞(填“全稱”或“存在”).
答案:(1)①√�、�× (2)B (3)有些 存在
三、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定
1.已知命題:①所有的矩形都是平行四邊形;②每一個自然數都是正整數;③存在一個x∈R,使得x2≤0;④至少有一個菱形的對角線不垂直.
(1)寫出這四個命題的否定.
提示:①有些矩形不是平行四邊形;
②至少存在一個自然數不是正整數;
③對任意一個x∈R,都有x2>0;
④每一個菱形的對角線都垂直.
(2)這四個命題分別是什么命題?它的否定又是什么命題?
提示:①②是全稱量詞命題,它們的否定是存在量詞命題.
③④是存在量詞命題,它們的否定是全稱量詞命題.
(3)判斷上述命題與其否定的真假,你能發現什么規律?
提示:命題①③是真命題,它們的否定是假命題;命題②④是假命題,它們的否定是真命題.即一個命題和它的否定真假相反.
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全稱量詞與存在量詞PPT，第三部分內容：例題解析
全稱量詞命題與存在量詞命題的辨析
例1判斷下列語句是否為全稱量詞命題或存在量詞命題.
(1)有些素數的和仍是素數;
(2)自然數的平方是正數.
解:因為(1)含有存在量詞,所以命題(1)為存在量詞命題;又因為“自然數的平方是正數”的實質是“任意一個自然數的平方都是正數”,所以(2)含有全稱量詞,故為全稱量詞命題.
綜上所述:(1)為存在量詞命題,(2)為全稱量詞命題.
反思感悟 判斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路
變式訓練1下列命題中,是全稱量詞命題的是___________,是存在量詞命題的是___________(填序號).
①正方形的四條邊相等;②有兩個角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正數的平方根不等于0;④至少有一個正整數是偶數.
解析:①②③是全稱量詞命題,④是存在量詞命題.
答案:①②③�、�
全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷
例2判斷下列命題的真假.
(1)∃x∈Z,x3<1;
(2)存在一個四邊形不是平行四邊形;
(3)在平面直角坐標系中,任意有序實數對(x,y)都對應一點P;
(4)∀x∈N,x2>0.
解:(1)這是存在量詞命題.因為-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命題.
(2)這是存在量詞命題.是真命題,如梯形是四邊形,不是平行四邊形.
(3)這是全稱量詞命題.由有序實數對與平面直角坐標系中的點的對應關系知,它是真命題.
(4)這是全稱量詞命題.因為0∈N,02=0,所以命題“∀x∈N,x2>0”是假命題.
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全稱量詞與存在量詞PPT，第四部分內容：思維辨析
對命題的否定理解不清致誤
典例命題p:∃x<3,x2>9的否定p為______________.
答案:∀x<3,x2≤9
糾錯心得 在對含有一個量詞的命題進行否定時,只需在兩個地方作出改變即可,一是量詞的符號,將“∀”改為“∃”,或者將“∃”改為“∀”;二是結論,將結論進行否定.當量詞符號后面含有表示變量范圍的不等式時,不能將這個不等式進行否定,否則得到的命題就不是原命題的否定.
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全稱量詞與存在量詞PPT，第五部分內容：隨堂演練
1.已知命題p:∀x∈R,x>a2+b2,則p的否定形式為( )
A.p:∃x∈R,x<a2+b2
B. p:∀x∈R,x≤a2+b2
C. p:∃x∈R,x≤a2+b2
D. p:∀x∈R,x<a2+b2
答案:C
2.下列語句:①被7整除的數都是奇數;②|x-1|<2;③存在實數a使方程x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的對角線相等.
其中是全稱量詞命題且為真命題的序號是_________.
解析:全稱量詞命題有①④,其中①是假命題,如70.
答案:④
3.指出命題“空間中所有的四邊形都共面”的量詞,并判斷真假.
解:量詞為“所有的”.是假命題.
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